まずは訂正。
締切り間際に)書式を変えた際の手作業でy^8の項をy^6の項,y^10の項をy^8と
ズラす間違いをし、そのまま投稿してしまいました（トホホ。）
余計な手間をおかけしました。
Python(/FORTRAN?)形式では
コード: 全て選択
Ds= -(12*m**3+(12*e-36)*m**2+(36-12*e)*m+e**2+e-12)/(384*e**3*m**5)
ｍ＝0.326667; e＝0.2525 で
Ds=174.534461 となります。
はらぱん>数式処理ソフトＭａｘｉｍａで厳密解を展開してみました。
「M」も(しばらく前から)Maxima(https://ja.wikipedia.org/wiki/Maxima)を
使っています! 多倍長整数/多倍長浮動小数点数の計算ができるのも便利ですね。その一方、
なかなか「使える」ようにならない。 強力な機能が「満載」で1000ページにおよぶ
Maxima Manualで迷子になってしまいます。
※たとえば「Taylor展開」は見つかるのですが「媒介変数表現の展開」が見つからない...。
近頃は「自分なりのidiomを集められればよい」と考えています。まあ自然言語と同じで
「習うより慣れろ」なのですかね。
はらぱん>これをｔにそのまま代入するのではなく、テイラー展開したものを代入して全体をテイラー展開するのだそうです。
※「そのまま代入」しても、ちゃんと結果が出ると思いますが？
はらぱん>mの値を負にしないと正しい答えが出ません。
yの0次項が「m+e」となっていますが「e-m」となる筈ですね(主鏡厳密式でt=0とする。）
主鏡厳密式の入力で「m」の符号が逆になっていませんか？
はらぱん>さて副鏡に関してですが、同様にＭａｘｉｍａで解いているのですが上手くいきません。
はらぱん>極座標などというのは全くわからず詰まってしまいました。
副鏡面の極座標が(ρ, u)のとき、直交座標は(ρ*cos(u), ρ*sin(u))。
副鏡厳密式の左辺は1/ρで右辺は(uでなく)tの式で面倒ですが(主鏡厳密式と同様に）
「倍角公式」で ρ = ＜uの式＞と変形できる。さて、
※主鏡厳密式の場合は、（tを消去して）うまくxがyの関数(陽形式):
※ ＜x = H(y)＞のかたち
※に出来た。そこで Ｍａｘｉｍａの「taylor()」一発でMaclaurin展開できたが
副鏡厳密式の場合は、
x = ρ(u(t))*cos(u(t))
y = ρ(u(t))*sin(u(t))
を 「陽形式」にできるか？ 「媒介変数tを消去できるか？」とも言えますね。
(でも... ... デキソウニ アリマセン！) そこで方向転換して...
「M」>「我流」で媒介変数表現の展開法をひねりだしました
...ということなのですが、当方のやり方を、いきなり紹介してしまうことは差し控えようと思います。
(Ｍａｘｉｍａを楽しんでつかっていらっしゃる様子ですので:-)
※Ｍａｘｉｍａでの「媒介変数表現のMaclaurin展開」も（うまく探せば）見つかるような
※気がしてきました。 理由は...あらためて。
※なお、
※『媒介変数表示関数の微分法 dy/dx=dy/dt/dx/dt』:-
※https://examist.jp/mathematics/derivation/baikaihensuu-bibunhou/
※などを参考にしました。